Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} + 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 3.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 3.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cos (x) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (x) + 3$ к $0$ .

$\cos (x) + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (x) + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 3$

Этап 4.2.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 3$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 3) = 0$ верно.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$