Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Этап 1

Заменим $\cos^{2} (2 x)$ на $1 - \sin^{2} (2 x)$ .

$(1 - \sin^{2} (2 x)) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) - 1 + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.1.2.2

Изменим порядок $\cos^{2} (2 x)$ и $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.1.2.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (2 x)$ .

$- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.1.2.6

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.1.3

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\sin (2 x)$ из $- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\sin (2 x)$ из $- \sin^{2} (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2.2

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $\sin (2 x)$ из $\sin^{1} (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $\sin (2 x)$ из $\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $\sin (2 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $\sin (2 x)$ к $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 2.4.2

Решим $\sin (2 x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 2.4.2.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 2.4.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 2.4.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 2.4.2.5.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 2.4.2.5.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.6

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.4.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.4.2.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.4.2.7

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Приравняем $- \sin (2 x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- \sin (2 x) + 1$ к $0$ .

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- \sin (2 x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (2 x) = - 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- \sin (2 x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (2 x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (2 x) = 1$

Этап 2.5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (1)$

Этап 2.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.5

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.5.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.5.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.6

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.7.1.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.5.2.7.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 2.5.2.7.1.4.2

Вычтем $π$ из $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.2.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.2.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.5.2.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.7.2.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.7.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.8

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.5.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.5.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.5.2.8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.5.2.9

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$ верно.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Объединим $π n$ и $\frac{π}{2} + π n$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$