Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

Этап 1

Заменим $\csc^{2} (x)$ на $\cot^{2} (x) + 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

Этап 2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\cot^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 4 = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 0.5 (u) - 4 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 0.5$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 0.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Добавим $0.25$ и $16$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 1.76556443, - 2.26556443$

Этап 8

Подставим $\cot (x)$ вместо $u$ .

$\cot (x) = 1.76556443, - 2.26556443$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = 1.76556443$

$\cot (x) = - 2.26556443$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = 1.76556443$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (1.76556443)$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $arccot (1.76556443)$ .

$x = 0.5153404$

Этап 10.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

Этап 10.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.5153404$

Этап 10.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

Этап 10.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.5153404$ .

$x = 3.65693305$

Этап 10.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - 2.26556443$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- 2.26556443)$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $arccot (- 2.26556443)$ .

$x = 2.7259209$

Этап 11.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.7259209 - (3.14159265)$

Этап 11.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Добавим $2 π$ к $2.7259209 - (3.14159265)$ .

$x = 2.7259209 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 11.4.2

Результирующий угол $5.86751355$ является положительным и отличается от $2.7259209 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 5.86751355$

Этап 11.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $0.5153404 + π n$ и $3.65693305 + π n$ в $0.5153404 + π n$ .

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13.2

Объединим $2.7259209 + π n$ и $5.86751355 + π n$ в $2.7259209 + π n$ .

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n$ , для любого целого $n$