Тригонометрия Примеры

$\cot^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Этап 1

Заменим $\cot^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Этап 2

Развернем $(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $- 1$ влево от $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Этап 3.2

Перепишем $- 1 \csc^{2} (x)$ в виде $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Этап 3.3

Перепишем $- 1 \sec^{2} (x)$ в виде $- \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $\csc^{2} (x)$ из $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $\csc^{2} (x)$ из $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $\csc^{2} (x)$ из $\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Этап 4.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Этап 4.1.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1 = 1$

Этап 4.1.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Этап 4.1.4

Применим формулу Пифагора.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Этап 4.1.5

Перепишем $\csc^{2} (x) \tan^{2} (x)$ в виде ${(\csc (x) \tan (x))}^{2}$ .

${(\csc (x) \tan (x))}^{2} - \tan^{2} (x) = 1$

Этап 4.1.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \csc (x) \tan (x)$ и $b = \tan (x)$ .

$(\csc (x) \tan (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1.1

Изменим порядок $\csc (x)$ и $\tan (x)$ .

$(\tan (x) \csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.7.1.1.2

Выразим $\csc (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.7.1.1.3

Сократим общие множители.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.7.1.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.2.1.1

Изменим порядок $\csc (x)$ и $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\tan (x) \csc (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.7.2.1.2

Выразим $\csc (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.7.2.1.3

Сократим общие множители.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.7.2.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.8

Развернем $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Объединим противоположные члены в $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\sec (x) (- \tan (x))$ и $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9.1.2

Добавим $- \sec (x) \tan (x)$ и $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9.1.3

Добавим $\sec (x) \sec (x)$ и $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.2.1

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.2.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9.2.1.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

Этап 4.1.9.2.3

Умножим $- \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.2.3.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

Этап 4.1.9.2.3.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

Этап 4.1.9.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

Этап 4.1.9.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Этап 4.1.10

Применим формулу Пифагора.

$1 = 1$

Этап 5

Поскольку $1 = 1$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$