Тригонометрия Примеры

\cos^{3} (x) - \cos (x) = 0

$\cos^{3} (x) - \cos (x) = 0$

Этап 1

Разложим

\cos^{3} (x) - \cos (x)

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель

\cos (x)

$\cos (x)$ из

\cos^{3} (x) - \cos (x)

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель

\cos (x)

$\cos (x)$ из

\cos^{3} (x)

$\cos^{3} (x)$ .

\cos (x) \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0

$\cos (x) \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель

\cos (x)

$\cos (x)$ из

- \cos (x)

$- \cos (x)$ .

\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель

\cos (x)

$\cos (x)$ из

\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1$ .

\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 1.2

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = \cos (x)

$a = \cos (x)$ и

b = 1

$b = 1$ .

\cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0

$\cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Этап 1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем

\cos (x)

$\cos (x)$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем

\cos (x)

$\cos (x)$ к

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Этап 3.2

Решим

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

x = \arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение

\arccos (0)

$\arccos (0)$ :

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

2 π

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы записать

2 π

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Объединим

2 π

$2 π$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.2.4.3.2

Вычтем

π

$π$ из

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.5

Найдем период

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 3.2.6

Период функции

\cos (x)

$\cos (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 4

Приравняем

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ к

0

$0$ .

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

\cos (x) = - 1

$\cos (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

x = \arccos (- 1)

$x = \arccos (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение

\arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ :

π

$π$ .

x = π

$x = π$

x = π

$x = π$

Этап 4.2.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

2 π

$2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

x = 2 π - π

$x = 2 π - π$

Этап 4.2.5

Вычтем

π

$π$ из

2 π

$2 π$ .

x = π

$x = π$

Этап 4.2.6

Найдем период

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции

\cos (x)

$\cos (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 5

Приравняем

\cos (x) - 1

$\cos (x) - 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

\cos (x) - 1

$\cos (x) - 1$ к

0

$0$ .

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим

1

$1$ к обеим частям уравнения.

\cos (x) = 1

$\cos (x) = 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

x = \arccos (1)

$x = \arccos (1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение

\arccos (1)

$\arccos (1)$ :

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Этап 5.2.4

2 π

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = 2 π - 0

$x = 2 π - 0$

Этап 5.2.5

Вычтем

0

$0$ из

2 π

$2 π$ .

x = 2 π

$x = 2 π$

Этап 5.2.6

Найдем период

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 5.2.7

Период функции

\cos (x)

$\cos (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых

\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 7

Объединим ответы.

x = \frac{π n}{2}

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого

n

$n$