Тригонометрия Примеры

$e^{2 x} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(e^{x})}^{2} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u^{2} - 30 u + 1 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 30$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.3

Вычтем $4$ из $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $896$ в виде $8^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $896$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

Этап 3.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

Этап 4

Подставим $15 + 4 \sqrt{14}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Этап 5

Решим $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Этап 5.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Этап 6

Подставим $15 - 4 \sqrt{14}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Этап 7

Решим $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Этап 7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Этап 7.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Этап 7.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Этап 8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Десятичная форма:

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$