Тригонометрия Примеры

$81^{x^{3} + 2 x^{2}} = 27^{\frac{5 x}{3}}$

Этап 1

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{4 (x^{3} + 2 x^{2})} = 3^{3 \frac{5 x}{3}}$

Этап 2

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$4 (x^{3} + 2 x^{2}) = 3 \frac{5 x}{3}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $4 (x^{3} + 2 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 4 (x^{3} + 2 x^{2}) = 3 (\frac{5 x}{3})$

Этап 3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$4 (x^{3} + 2 x^{2}) = 3 (\frac{5 x}{3})$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} + 4 (2 x^{2}) = 3 (\frac{5 x}{3})$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$4 x^{3} + 8 x^{2} = 3 (\frac{5 x}{3})$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} + 8 x^{2} = 3 \frac{5 x}{3}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{3} + 8 x^{2} = 5 x$

Этап 3.3

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3}$ .

$x (4 x^{2}) + 8 x^{2} - 5 x = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x^{2}$ .

$x (4 x^{2}) + x (8 x) - 5 x = 0$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$x (4 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{2}) + x (8 x)$ .

$x (4 x^{2} + 8 x) + x \cdot - 5 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{2} + 8 x) + x \cdot - 5$ .

$x (4 x^{2} + 8 x - 5) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$x (4 x^{2} + 8 (x) - 5) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.2

Запишем $8$ как $- 2$ плюс $10$

$x (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5) = 0$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Этап 3.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$x ((2 x - 1) (2 x + 5)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (2 x - 1) (2 x + 5) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.7

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.8

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 3.8.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 3.8.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x - 1) (2 x + 5) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0, 0.5, - 2.5$

Форма смешанных чисел:

$x = 0, \frac{1}{2}, - 2 \frac{1}{2}$