Тригонометрия Примеры

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $3^{2 x}$ в виде ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = 3^{x}$ . Подставим $u$ вместо $3^{x}$ для всех.

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 4 u + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $3^{x}$ .

$(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $3^{x} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3^{x} - 3$ к $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $3^{x} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3^{x} = 3$

Этап 3.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{1}$

Этап 3.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 4

Приравняем $3^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3^{x} - 1$ к $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $3^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3^{x} = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Этап 4.2.3

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Этап 4.2.5

Разделим каждый член $x \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = 0$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 4.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Этап 4.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Разделим $0$ на $\ln (3)$ .

$x = 0$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$ верно.

$x = 1, 0$