Тригонометрия Примеры

$\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x - 2}}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 2}$ в виде ${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x - 2)}^{1} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 x - 2 = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ .

$2 x - 2 = (1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 2 = 1 (1 + \sqrt{4 - x}) + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{4 - x}$ на $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{4 - x}$ на $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{4 - x}$ в степень $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} \sqrt{4 - x}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{4 - x}$ в степень $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} {\sqrt{4 - x}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ в виде $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 4 - x$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$2 x - 2 = 5 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} - x$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{4 - x}$ и $\sqrt{4 - x}$ .

$2 x - 2 = 5 + 2 \sqrt{4 - x} - x$

Этап 3

Решим относительно $2 \sqrt{4 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$ .

$5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{4 - x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2 - 5$

Этап 3.2.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{4 - x} = 2 x - 2 - 5 + x$

Этап 3.2.3

Добавим $2 x$ и $x$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 2 - 5$

Этап 3.2.4

Вычтем $5$ из $- 2$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 7$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(4 - x)}^{1} = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$4 (4 - x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$16 - 4 x = {(3 x - 7)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(3 x - 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(3 x - 7)}^{2}$ в виде $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$16 - 4 x = (3 x - 7) (3 x - 7)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(3 x - 7) (3 x - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - 4 x = 3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $- 7$ на $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49$

Этап 5.3.1.3.2

Вычтем $21 x$ из $- 21 x$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 42 x + 49$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 16 - 4 x$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} - 42 x + 49 + 4 x = 16$

Этап 6.2.2

Добавим $- 42 x$ и $4 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 49 = 16$

Этап 6.3

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 38 x + 49 - 16 = 0$

Этап 6.4

Вычтем $16$ из $49$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Этап 6.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 33 = 297$ , а сумма — $b = - 38$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Вынесем множитель $- 38$ из $- 38 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Этап 6.5.1.2

Запишем $- 38$ как $- 11$ плюс $- 27$

$9 x^{2} + (- 11 - 27) x + 33 = 0$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} - 11 x - 27 x + 33 = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 x^{2} - 11 x) - 27 x + 33 = 0$

Этап 6.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (9 x - 11) - 3 (9 x - 11) = 0$

Этап 6.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x - 11$ .

$(9 x - 11) (x - 3) = 0$

Этап 6.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 x - 11 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 6.7

Приравняем $9 x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $9 x - 11$ к $0$ .

$9 x - 11 = 0$

Этап 6.7.2

Решим $9 x - 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 11$

Этап 6.7.2.2

Разделим каждый член $9 x = 11$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 11$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Этап 6.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Этап 6.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{11}{9}$

Этап 6.8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 x - 11) (x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{11}{9}, 3$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$ истинным.

$x = 3$