Тригонометрия Примеры

$\sqrt{3} \sin (x) \sec (x) = 2 \sin (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\sqrt{3} \sin (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\sqrt{3} \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Этап 1.1.2

Умножим $\sqrt{3} \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} \sin (x) = 2 \sin (x)$

Этап 1.1.2.2

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \sin (x))$

Этап 3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \sin (x))$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) (2 \sin (x))$

Этап 4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sqrt{3} \sin (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 5

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sqrt{3} \sin (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 6

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\sqrt{3} \sin (x) = 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Этап 7

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sqrt{3} \sin (x) = \sin (2 x)$

Этап 8

Вычтем $\sin (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3} \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sqrt{3} \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\sqrt{3} \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 10

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sqrt{3} \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\sin (x) \sqrt{3} - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 10.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \sqrt{3} + \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Этап 10.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \sqrt{3} + \sin (x) (- 2 \cos (x))$ .

$\sin (x) (\sqrt{3} - 2 \cos (x)) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{3} - 2 \cos (x) = 0$

Этап 12

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 12.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 12.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 12.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 12.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 12.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Приравняем $\sqrt{3} - 2 \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $\sqrt{3} - 2 \cos (x)$ к $0$ .

$\sqrt{3} - 2 \cos (x) = 0$

Этап 13.2

Решим $\sqrt{3} - 2 \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

Этап 13.2.2

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 13.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 13.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 13.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 13.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 13.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 13.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 13.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 13.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 13.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (\sqrt{3} - 2 \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$