Тригонометрия Примеры

$\sqrt{4 x + 16} = x + 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 x + 16}}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x + 16}$ в виде ${(4 x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(4 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x + 16)}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$4 x + 16 = {(x + 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$4 x + 16 = (x + 1) (x + 1)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 16 = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 16 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 16 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 16 = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$4 x + 16 = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$4 x + 16 = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$4 x + 16 = x^{2} + x + x + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$4 x + 16 = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 = 4 x + 16$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 x = 16$

Этап 3.2.2

Вычтем $4 x$ из $2 x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = 16$

Этап 3.3

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 - 16 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $16$ из $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 = 0$

Этап 3.5

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 3) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3.8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 5, - 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{4 x + 16} = x + 1$ истинным.

$x = 5$