Тригонометрия Примеры

$\sqrt{5 x - 1} + 3 = x$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{5 x - 1} = x - 3$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 x - 1}}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x - 1}$ в виде ${(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 x - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$5 x - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$5 x - 1 = (x - 3) (x - 3)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 1 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x - 1 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$5 x - 1 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$5 x - 1 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$5 x - 1 = x^{2} - 6 x + 9$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 6 x + 9 = 5 x - 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 6 x + 9 - 5 x = - 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $5 x$ из $- 6 x$ .

$x^{2} - 11 x + 9 = - 1$

Этап 4.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 11 x + 9 + 1 = 0$

Этап 4.4

Добавим $9$ и $1$ .

$x^{2} - 11 x + 10 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} - 11 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 11$ .

$- 10, - 1$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x - 1) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 4.8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 10, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{5 x - 1} + 3 = x$ истинным.

$x = 10$