Тригонометрия Примеры

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sqrt{2} \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Этап 1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sqrt{2} \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sqrt{2} \sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2} \sin (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (x) = - 1$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (x) = - 1$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 4.2.2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.2.2.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.2.2.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.2.2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.2.2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.2.2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.2.2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 4.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 4.2.6.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 4.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 4.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 4.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 4.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 4.2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 4.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$