Тригонометрия Примеры

$\sqrt{2} \csc (x) + 2 = 0$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2} \csc (x) = - 2$

Этап 2

Разделим каждый член $\sqrt{2} \csc (x) = - 2$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \csc (x) = - 2$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\csc (x)$ на $1$ .

$\csc (x) = \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Этап 3

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $arccsc (- \sqrt{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 8.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 9

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$