Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (x) - \tan (x) - 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ для всех.

$u^{2} - u - 2 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\tan (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (x) - 2$ к $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) = 2$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (2)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Найдем значение $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Этап 3.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Этап 3.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Этап 3.2.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Этап 3.2.5.3

Добавим $3.14159265$ и $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Этап 3.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 4.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 4.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 4.2.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 4.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 4.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 4.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 4.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $1.10714871 + π n$ и $4.24874137 + π n$ в $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.10714871 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$