Тригонометрия Примеры

$\sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\sin^{4} (x)$ в виде ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = \sin^{2} (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin^{2} (x)$ для всех.

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $\sin^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin^{2} (x) = 1$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm 1$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = 1$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - 1$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = 1, - 1$

Этап 3.2.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

Этап 3.2.6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 3.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.6.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.6.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.2.6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 3.2.6.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.6.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 3.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.7.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 3.2.7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 3.2.7.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.7.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 3.2.7.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.7.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.7.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.2.7.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.2.7.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.7.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.7.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sin^{2} (x) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin^{2} (x) + 3$ к $0$ .

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin^{2} (x) + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (x) = - 3$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\sin (x) = \pm i \sqrt{3}$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 4.2.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (i \sqrt{3})$

Этап 4.2.6.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (i \sqrt{3})$ не определена.

Неопределенные

Этап 4.2.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- i \sqrt{3})$

Этап 4.2.7.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (- i \sqrt{3})$ не определена.

Неопределенные

Этап 4.2.8

Перечислим все решения.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$