Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (x) = 2 \tan (x) + 1$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} = 2 (u) + 1$

Этап 2

Вычтем $2 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 2 u = 1$

Этап 3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 8

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\tan (x) = 2.41421356$

Этап 10.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (2.41421356)$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Найдем значение $\arctan (2.41421356)$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 10.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{3 π}{8}$

Этап 10.5

Упростим $π + \frac{3 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{3 π}{8}$

Этап 10.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{3 π}{8}$

Этап 10.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 8 + 3 π}{8}$

Этап 10.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.3.1

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + 3 π}{8}$

Этап 10.5.3.2

Добавим $8 π$ и $3 π$ .

$x = \frac{11 π}{8}$

Этап 10.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\tan (x) = - 0.41421356$

Этап 11.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 0.41421356)$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Найдем значение $\arctan (- 0.41421356)$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Этап 11.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{8} - π$

Этап 11.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = - \frac{π}{8} - π + 2 π$

Этап 11.5.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{8}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{8} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{8}$

Этап 11.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 11.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 11.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 11.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{8}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{8} + π$

Этап 11.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Этап 11.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Этап 11.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Этап 11.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.4.1

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Этап 11.7.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Этап 11.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{8}$

Этап 11.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$