Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (x) + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Этап 1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Этап 1.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Этап 1.1.4

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \frac{1}{\cos (x)} - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Этап 1.1.5

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Этап 1.1.6

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \sqrt{2} \frac{1}{\cos (x)} - \sqrt{6} = 0$

Этап 1.1.7

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} - \sqrt{6} = 0$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} - \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \cos (x) \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6

Умножим $\cos (x)$ на $0$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = 0$

Этап 7

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = 0$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$

Этап 8

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\cos (x), 1, 1, 1, 1$

Этап 8.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\cos (x)$

Этап 9

Каждый член в $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$ умножим на $\cos (x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим каждый член $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Этап 9.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Этап 9.2.1.2

Умножим $\cos (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Перенесем $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - (\cos (x) \cos (x)) \sqrt{6} = 0 \cos (x)$

Этап 9.2.1.2.2

Умножим $\cos (x)$ на $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos^{2} (x) \sqrt{6} = 0 \cos (x)$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $0$ на $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos^{2} (x) \sqrt{6} = 0$

Этап 10

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10.2

Подставим значения $a = - \sqrt{6}$ , $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $\cos (x)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{6} \cdot 1)}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.2

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.2.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.3

Перепишем ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.4

Развернем $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.5

Умножим $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.6

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.7

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.7.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.7.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.5.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.1.8.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.2

Добавим $3$ и $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - \sqrt{6} - \sqrt{6} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.5.3

Вычтем $\sqrt{6}$ из $- \sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.7

Умножим $4$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.1.8

Добавим $- 2 \sqrt{6}$ и $4 \sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 (- \sqrt{6})}$

Этап 10.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{- 2 \sqrt{6}}$

Этап 10.3.3

Упростим $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{- 2 \sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$

Этап 10.3.4

Умножим $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 10.3.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 10.3.5.2

Перенесем $\sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 10.3.5.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 10.3.5.4

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 10.3.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 10.3.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 10.3.5.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.5.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.3.5.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.3.5.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.5.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.5.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.5.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Этап 10.3.5.7.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Этап 10.3.6

Умножим $2$ на $6$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Этап 10.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}, \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 12.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 12.4

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 12.4.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 12.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$ .

$x = 2.18627603$

Этап 13.3

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Этап 13.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Этап 13.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.18627603$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.18627603$

Этап 13.4.2.2

Вычтем $2.18627603$ из $6.2831853$ .

$x = 4.09690927$

Этап 13.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , для любого целого $n$