Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (x) + 4 \tan (x) = 2$

Этап 1

Заменим $\sec^{2} (x)$ на $1 + \tan^{2} (x)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan (x) = 2$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\tan^{2} (x) + 4 \tan (x) + 1 = 2$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 2$

Этап 4

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 4 u + 1 - 2 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$u^{2} + 4 u - 1 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Добавим $16$ и $4$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 2 \pm \sqrt{5}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Этап 9

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\tan (x) = 0.23606797$

Этап 11.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0.23606797)$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Найдем значение $\arctan (0.23606797)$ .

$x = 0.2318238$

Этап 11.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Этап 11.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.2318238$

Этап 11.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Этап 11.5.3

Добавим $3.14159265$ и $0.2318238$ .

$x = 3.37341645$

Этап 11.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 11.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 11.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 11.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\tan (x) = - 4.23606797$

Этап 12.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 4.23606797)$

Этап 12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Найдем значение $\arctan (- 4.23606797)$ .

$x = - 1.33897252$

Этап 12.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 1.33897252 - (3.14159265)$

Этап 12.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Добавим $2 π$ к $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.33897252 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 12.5.2

Результирующий угол $1.80262013$ является положительным и отличается от $- 1.33897252 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 1.80262013$

Этап 12.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 12.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 12.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 12.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 12.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.1

Добавим $π$ к $- 1.33897252$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.33897252 + π$

Этап 12.7.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 1.33897252$

Этап 12.7.3

Вычтем $1.33897252$ из $3.14159265$ .

$1.80262013$

Этап 12.7.4

Перечислим новые углы.

$x = 1.80262013$

Этап 12.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $0.2318238 + π n$ и $3.37341645 + π n$ в $0.2318238 + π n$ .

$x = 0.2318238 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14.2

Объединим $0.2318238 + π n$ и $1.80262013 + π n$ в $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}, 1.80262013 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14.3

Объединим $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ и $1.80262013 + π n$ в $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$