Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

Этап 1

Заменим $\sec^{2} (x)$ на $1 + \tan^{2} (x)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

Этап 2

Вычтем $2 \tan^{2} (x)$ из $\tan^{2} (x)$ .

$1 - \tan^{2} (x) = - 2$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$- \tan^{2} (x) + 1 = - 2$

Этап 4

Перенесем все члены без $\tan (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan^{2} (x) = - 2 - 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$- \tan^{2} (x) = - 3$

Этап 5

Разделим каждый член $- \tan^{2} (x) = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- \tan^{2} (x) = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $\tan^{2} (x)$ на $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$\tan^{2} (x) = 3$

Этап 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Этап 7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 8

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 9.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 9.4

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 9.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 9.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 9.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 9.4.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 9.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 9.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 10.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 10.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 10.4.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 10.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + π$

Этап 10.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 10.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 10.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 10.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 10.6.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 10.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 10.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{π}{3} + π n$ и $\frac{4 π}{3} + π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + π n$ и $\frac{2 π}{3} + π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$