Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Этап 3.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Этап 3.3

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

Этап 3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 3.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Этап 4

Упорядочим многочлен.

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Этап 5

Подставим $u = \cos^{2} (x)$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

Этап 6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $u$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{4}$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Этап 6.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

Этап 6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

Этап 6.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

Этап 6.2.3

Перепишем $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Этап 6.2.4

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.2.5

Перепишем многочлен.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Этап 6.2.6

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = \frac{1}{2}$ .

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Этап 7

Разделим каждый член $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.2.2

Разделим ${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ на $1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Этап 8

Приравняем $u - \frac{1}{2}$ к $0$ .

$u - \frac{1}{2} = 0$

Этап 9

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$u = \frac{1}{2}$

Этап 10

Подставим вещественное значение $u = \cos^{2} (x)$ обратно в решенное уравнение.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Этап 11

Решим уравнение относительно $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 11.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 11.2.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 11.2.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 11.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 11.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 11.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 11.2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 13.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 13.4

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 13.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 13.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 13.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 13.4.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 13.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 14.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 14.4

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 14.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 14.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 14.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 14.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 14.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$