Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Вычтем $\frac{\sqrt{3}}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Этап 2

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Этап 3

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Этап 4

Упорядочим многочлен.

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Этап 5

Перенесем все члены без $\cos (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

Этап 5.2

Добавим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Разделим каждый член $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Этап 6.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 6.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 6.3.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Этап 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Этап 8

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Этап 8.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Этап 8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Этап 8.4

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Этап 8.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 8.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Этап 9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Этап 9.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 11.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

Этап 11.4

Упростим $2 π - \frac{5 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Этап 11.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Этап 11.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Этап 11.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Умножим $12$ на $2$ .

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

Этап 11.4.3.2

Вычтем $5 π$ из $24 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Этап 11.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Этап 12.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

Этап 12.4

Упростим $2 π - \frac{7 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Умножим $12$ на $2$ .

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

Этап 12.4.3.2

Вычтем $7 π$ из $24 π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Этап 12.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ и $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ в $\frac{5 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14.2

Объединим $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ и $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ в $\frac{7 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$