Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2

Вычтем $2 \cos^{2} (x)$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$- 3 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 1$

Этап 5

Разделим каждый член $- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Этап 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 7.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 7.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.95531661$

Этап 10.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

Этап 10.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

Этап 10.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 0.95531661$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.95531661$

Этап 10.4.2.2

Вычтем $0.95531661$ из $6.2831853$ .

$x = 5.32786868$

Этап 10.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 2.18627603$

Этап 11.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Этап 11.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Этап 11.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.18627603$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.18627603$

Этап 11.4.2.2

Вычтем $2.18627603$ из $6.2831853$ .

$x = 4.09690927$

Этап 11.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $0.95531661 + 2 π n$ и $4.09690927 + 2 π n$ в $0.95531661 + π n$ .

$x = 0.95531661 + π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13.2

Объединим $5.32786868 + 2 π n$ и $2.18627603 + 2 π n$ в $2.18627603 + π n$ .

$x = 0.95531661 + π n, 2.18627603 + π n$ , для любого целого $n$