Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (x) + 8 \sin (x) - 4 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} + 8 (u) - 4 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 8$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Добавим $64$ и $16$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

Этап 6

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\sin (x) = 0.47213595$

Этап 8.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0.47213595)$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Найдем значение $\arcsin (0.47213595)$ .

$x = 0.49171223$

Этап 8.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

Этап 8.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.49171223$

Этап 8.5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

Этап 8.5.3

Вычтем $0.49171223$ из $3.14159265$ .

$x = 2.64988042$

Этап 8.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\sin (x) = - 8.47213595$

Этап 9.2

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 8.47213595$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$ , для любого целого $n$