Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим $\sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Изменим порядок $\sin^{2} (x)$ и $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.6

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.7

Применим формулу Пифагора.

$- \cos^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.8

Добавим $- \cos^{2} (x)$ и $3 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 \cos^{2} (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 \cos^{2} (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{0}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Этап 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm 0$

Этап 3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 3.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.7

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.7.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.8

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.9

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$