Тригонометрия Примеры

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x (4 - x))$

Этап 1.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x \cdot 4 + x (- x))$

Этап 1.1.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x + x (- x))$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x - x \cdot x)$

Этап 1.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - (x \cdot x))$

Этап 1.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - x^{2})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$3 x = 4 x - x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x - x^{2} = 3 x$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x - x^{2} - 3 x = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $3 x$ из $4 x$ .

$- x^{2} + x = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + x = 0$

Этап 3.3.2

Перепишем $x$ в виде $1 x$ .

$- x \cdot x + 1 x = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $- x$ из $1 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x) - x (- 1)$ .

$- x (x - 1) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ истинным.

$x = 1$