Тригонометрия Примеры

$2 \cot^{2} (x) - 3 \csc (x) = 0$

Этап 1

Заменим $2 \cot^{2} (x)$ на $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) - 3 \csc (x) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 3 \csc (x) = 0$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 - 3 \csc (x) = 0$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$2 \csc^{2} (x) - 3 \csc (x) - 2 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\csc (x)$ .

$2 {(u)}^{2} - 3 u - 2 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 u$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Этап 5.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$2 u^{2} + (1 - 4) u - 2 = 0$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 1 u - 4 u - 2 = 0$

Этап 5.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$2 u^{2} + u - 4 u - 2 = 0$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 u^{2} + u - 4 u - 2 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u + 1) - 2 (2 u + 1) = 0$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 2) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 2 = 0$

Этап 7

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 8

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u + 1) (u - 2) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{2}, 2$

Этап 10

Подставим $\csc (x)$ вместо $u$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, 2$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = 2$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $- \frac{1}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (2)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $arccsc (2)$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 13.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 13.4

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 13.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 13.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 13.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$