Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$2 {(u)}^{2} - 2 u - 1 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 1.94553075$

Этап 9.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Этап 9.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Этап 9.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.94553075$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.94553075$

Этап 9.4.2.2

Вычтем $1.94553075$ из $6.2831853$ .

$x = 4.33765454$

Этап 9.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , для любого целого $n$