Тригонометрия Примеры

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

Этап 1

Заменим $2 \cot^{2} (x)$ на $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\csc (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Этап 5.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Этап 7

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 8

Приравняем $u + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Этап 10

Подставим $\csc (x)$ вместо $u$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $\frac{1}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\csc (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- 2)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $arccsc (- 2)$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 13.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 13.4.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 13.5

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 13.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 13.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 13.6.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 13.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 13.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Перечислим все решения.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$