Тригонометрия Примеры

$17 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Этап 1

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$17 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ .

$17 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$18 u^{2} - 3 u - 1 = 0$

Этап 3.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 18 \cdot - 1 = - 18$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 u$ .

$18 u^{2} - 3 u - 1 = 0$

Этап 3.1.2.1.2

Запишем $- 3$ как $3$ плюс $- 6$

$18 u^{2} + (3 - 6) u - 1 = 0$

Этап 3.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$18 u^{2} + 3 u - 6 u - 1 = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(18 u^{2} + 3 u) - 6 u - 1 = 0$

Этап 3.1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (6 u + 1) - (6 u + 1) = 0$

Этап 3.1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $6 u + 1$ .

$(6 u + 1) (3 u - 1) = 0$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$(6 \sin (x) + 1) (3 \sin (x) - 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$6 \sin (x) + 1 = 0$

$3 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $6 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $6 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$6 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 3.3.2

Решим $6 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$6 \sin (x) = - 1$

Этап 3.3.2.2

Разделим каждый член $6 \sin (x) = - 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Разделим каждый член $6 \sin (x) = - 1$ на $6$ .

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 1}{6}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 1}{6}$

Этап 3.3.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{6}$

Этап 3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{6})$

Этап 3.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1}{6})$ .

$x = - 0.16744807$

Этап 3.3.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$

Этап 3.3.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 3.3.2.6.2

Результирующий угол $3.30904073$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.30904073$

Этап 3.3.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- 0.16744807$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.16744807 + 2 π$

Этап 3.3.2.8.2

Вычтем $0.16744807$ из $2 π$ .

$6.11573722$

Этап 3.3.2.8.3

Перечислим новые углы.

$x = 6.11573722$

Этап 3.3.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.30904073 + 2 π n, 6.11573722 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4

Приравняем $3 \sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $3 \sin (x) - 1$ к $0$ .

$3 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $3 \sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin (x) = 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $3 \sin (x) = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (x) = 1$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Этап 3.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Этап 3.4.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Этап 3.4.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Этап 3.4.2.6.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Этап 3.4.2.6.3

Вычтем $0.3398369$ из $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Этап 3.4.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.4.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(6 \sin (x) + 1) (3 \sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 3.30904073 + 2 π n, 6.11573722 + 2 π n, 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , для любого целого $n$