Тригонометрия Примеры

$16 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x) - 11$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4 \cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 11$

Этап 1.2

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 11 = 0$

Этап 2

Заменим $- 4 \cos^{2} (x)$ на $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$16 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Этап 3.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$16 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$16 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 11 = 0$

Этап 4

Добавим $- 4$ и $11$ .

$16 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) + 7 = 0$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$4 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x) + 7 = 0$

Этап 6

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 16 (u) + 7 = 0$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 u$ .

$4 u^{2} + 16 u + 7 = 0$

Этап 7.1.2

Запишем $16$ как $2$ плюс $14$

$4 u^{2} + (2 + 14) u + 7 = 0$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (2 u + 1) + 7 (2 u + 1) = 0$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$2 u + 7 = 0$

Этап 9

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Этап 9.2

Решим $2 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 1$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 10

Приравняем $2 u + 7$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 u + 7$ к $0$ .

$2 u + 7 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 u + 7 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 7$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 7$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 7}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{7}{2}$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Этап 12

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Этап 13

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{7}{2}$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 14.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 14.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 14.4.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 14.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 14.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 14.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 14.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 14.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 14.6.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 14.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 14.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{7}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{7}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 16

Перечислим все решения.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$