Тригонометрия Примеры

$2 \sin^{2} (x) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Этап 1

Заменим $2 \sin^{2} (x)$ на $2 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Этап 3

Вычтем $4$ из $2$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) - 2 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 5 u - 2 = 0$

Этап 5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u^{2} - 5 u - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 5 u - 2 = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 u$ .

$- (2 u^{2}) - (5 u) - 2 = 0$

Этап 5.1.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$- (2 u^{2}) - (5 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 u^{2}) - (5 u)$ .

$- (2 u^{2} + 5 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 u^{2} + 5 u) - 1 (2)$ .

$- (2 u^{2} + 5 u + 2) = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$- (2 u^{2} + 5 u + 2) = 0$

Этап 5.2.1.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$- (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) = 0$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) = 0$

Этап 5.2.1.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$- (2 u^{2} + u + 4 u + 2) = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- (2 u^{2} + u + 4 u + 2) = 0$

Этап 5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) = 0$

Этап 5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$- ((2 u + 1) (u + 2)) = 0$

Этап 5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 u + 1) (u + 2) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Этап 7

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 8

Приравняем $u + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 u + 1) (u + 2) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Этап 10

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 2$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 12.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.4

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 12.4.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 12.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 2$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 14

Перечислим все решения.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$