Тригонометрия Примеры

$2 \sin^{2} (3 x) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin^{2} (3 x) = 1$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (3 x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (3 x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{2} (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (3 x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (3 x) = \frac{1}{2}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (3 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$3 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Этап 7.3.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 7.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$3 x = π - \frac{π}{4}$

Этап 7.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 7.5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 7.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 7.5.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 7.5.1.4.2

Вычтем $π$ из $4 \cdot π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Этап 7.5.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 7.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 7.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 7.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.5.2.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{4}$

Этап 7.6

Найдем период $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.6.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 7.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 7.7

Период функции $\sin (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$3 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Этап 8.3

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 8.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 8.3.3.2

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Этап 8.3.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Этап 8.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$3 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 8.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 8.5.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$3 x = \frac{5 π}{4}$

Этап 8.5.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 8.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 8.5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 8.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 8.5.3.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Этап 8.5.3.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 8.6

Найдем период $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.6.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 8.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 8.7

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Этап 8.7.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Этап 8.7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Этап 8.7.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 8.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{12}$

Этап 8.7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{12}$

Этап 8.7.5.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{12}$

Этап 8.7.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{12}$

Этап 8.8

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , для любого целого $n$