Тригонометрия Примеры

$2 \sec^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Этап 1

Заменим $2 \sec^{2} (x)$ на $2 (1 + \tan^{2} (x))$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) = 3 - \tan (x)$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Этап 3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Этап 4

Упорядочим многочлен.

$2 \tan^{2} (x) + 2 = 3 - \tan (x)$

Этап 5

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 2 = 3 - (u)$

Этап 6

Добавим $u$ к обеим частям уравнения.

$2 u^{2} + 2 + u = 3$

Этап 7

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 u^{2} + 2 + u - 3 = 0$

Этап 8

Вычтем $3$ из $2$ .

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Этап 9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим на $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Этап 9.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Этап 9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Этап 9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 11

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 12

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 14

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 15

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - 1$

Этап 16

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Этап 16.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Найдем значение $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Этап 16.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Этап 16.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Этап 16.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Этап 16.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Этап 16.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 16.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 16.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 16.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 16.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 17.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 17.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 17.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 17.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 17.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 17.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 17.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 17.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 17.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 17.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 17.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 17.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 17.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 17.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 17.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 17.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 18

Перечислим все решения.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 19

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $0.4636476 + π n$ и $3.60524026 + π n$ в $0.4636476 + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 19.2

Объединим $\frac{3 π}{4} + π n$ и $\frac{3 π}{4} + π n$ в $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$