Тригонометрия Примеры

$2 \sec^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Этап 1

Заменим $2 \sec^{2} (x)$ на $2 (1 + \tan^{2} (x))$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) - \tan^{4} (x) = - 1$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$

Этап 4

Подставим $u = \tan^{2} (x)$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (x)$

Этап 5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Этап 6

Добавим $2$ и $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Этап 7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 2 u + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Этап 7.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разложим $u^{2} - 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 7.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Этап 7.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 9

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 9.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 10

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 3) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 3, - 1$

Этап 12

Подставим вещественное значение $u = \tan^{2} (x)$ обратно в решенное уравнение.

$\tan^{2} (x) = 3$

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

Этап 13

Решим первое уравнение относительно $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) = 3$

Этап 14

Решим уравнение относительно $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Этап 14.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Этап 14.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 14.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 15

Решим второе уравнение относительно $\tan (x)$ .

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

Этап 16

Решим уравнение относительно $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Избавимся от скобок.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Этап 16.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 16.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Этап 16.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = i$

Этап 16.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - i$

Этап 16.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = i, - i$

Этап 17

Решением $- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$ является $\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Этап 18

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Этап 19

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 19.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 19.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 19.4

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 19.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 19.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 19.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 19.4.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 19.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 19.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 19.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 19.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 19.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 20

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 20.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 20.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 20.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 20.4.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 20.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 20.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 20.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 20.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 20.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + π$

Этап 20.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 20.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 20.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 20.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 20.6.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 20.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 20.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 21

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (i)$

Этап 21.2

Обратная к тангенсу $\arctan (i)$ не определена.

Неопределенные

Этап 22

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- i)$

Этап 22.2

Обратная к тангенсу $\arctan (- i)$ не определена.

Неопределенные

Этап 23

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 24

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Объединим $\frac{π}{3} + π n$ и $\frac{4 π}{3} + π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 24.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + π n$ и $\frac{2 π}{3} + π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$