Тригонометрия Примеры

$2 \sin^{2} (x) + \sin (2 x) = 0$

Этап 1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\sin (x) + \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x) + \cos (x)$ к $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) + \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2.4

Разделим дроби.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5.2.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 5.2.6

Разделим $0$ на $1$ .

$\tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Этап 5.2.7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 5.2.8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 5.2.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 5.2.10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.11

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 5.2.12

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 5.2.12.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.14

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 5.2.14.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.14.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.14.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.2.14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.2.14.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.14.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.15

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$