Тригонометрия Примеры

$2 \tan (x) - \sec^{2} (x) = 0$

Этап 1

Заменим $- \sec^{2} (x)$ на $- (1 + \tan^{2} (x))$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) - (1 + \tan^{2} (x)) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \tan (x) - 1 \cdot 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \tan (x) - 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Этап 5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 2 u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 = 0$

Этап 5.1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - 2 u) - 1 (1)$ .

$- (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 5.2.3

Перепишем многочлен.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$- {(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 6

Разделим каждый член $- {(u - 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- {(u - 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(u - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(u - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2

Разделим ${(u - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 7

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 8

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 9

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 10

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 11

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 12

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 13

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 13.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 13.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 13.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 14

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 14.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 14.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 14.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 15

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$