Тригонометрия Примеры

$2 \sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (2 \sin (x)) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$2 \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$2 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 7

Умножим $2 \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 7.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 8.2

Перепишем это выражение.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Этап 9

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 10

Заменим $2 \sin^{2} (x)$ на $2 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 11.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 12

Вычтем $1$ из $2$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 = 0$

Этап 13

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} + u + 1 = 0$

Этап 14

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u^{2} + u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + u + 1 = 0$

Этап 14.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $u$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Этап 14.1.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 14.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 14.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 14.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 14.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Этап 14.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Этап 14.2.1.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Этап 14.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Этап 14.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Этап 14.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 14.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Этап 15

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 16

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Этап 16.2

Решим $2 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 1$

Этап 16.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 16.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 16.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 16.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 17

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 17.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 18

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 u + 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 19

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 20

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Этап 21

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 21.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 21.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 21.4

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 21.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 21.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 21.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 21.4.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 21.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 21.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 21.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 21.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 21.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 22

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 22.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 22.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 22.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 22.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 22.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 22.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 22.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 22.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 23

Перечислим все решения.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 24

Объединим ответы.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$