Тригонометрия Примеры

$2 \cos (h (2 x)) - \sin (h (2 x)) = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (h \cdot (2 x)) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cos (2 h x) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Этап 2.1.1.2

Добавим круглые скобки.

$2 \cos (2 (h x)) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Этап 2.1.1.3

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$2 (\cos^{2} (h x) - \sin^{2} (h x)) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Этап 2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos^{2} (h x) + 2 (- \sin^{2} (h x)) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Этап 2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Этап 2.1.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - \sin (2 h x) - 2 = 0$

Этап 2.1.1.7

Добавим круглые скобки.

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - \sin (2 (h x)) - 2 = 0$

Этап 2.1.1.8

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - (2 \sin (h x) \cos (h x)) - 2 = 0$

Этап 2.1.1.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) - 2 = 0$

Этап 2.1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем $- 2$ .

$2 \cos^{2} (h x) - 2 - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Этап 2.1.2.2

Изменим порядок $2 \cos^{2} (h x)$ и $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$- 2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $- 2$ из $2 \cos^{2} (h x)$ .

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (h x)) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (h x))$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (h x)) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Этап 2.2

Применим формулу Пифагора.

$- 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Этап 2.3

Вычтем $2 \sin^{2} (h x)$ из $- 2 \sin^{2} (h x)$ .

$- 4 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Этап 3

Разложим $- 4 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 \sin (h x)$ из $- 4 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2 \sin (h x)$ из $- 4 \sin^{2} (h x)$ .

$2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x)) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $2 \sin (h x)$ из $- 2 \sin (h x) \cos (h x)$ .

$2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x)) + 2 \sin (h x) (- 1 \cos (h x)) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $2 \sin (h x)$ из $2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x)) + 2 \sin (h x) (- 1 \cos (h x))$ .

$2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x) - 1 \cos (h x)) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $- 1 \cos (h x)$ в виде $- \cos (h x)$ .

$2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x) - \cos (h x)) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (h x) = 0$

$- 2 \sin (h x) - \cos (h x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (h x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (h x)$ к $0$ .

$\sin (h x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (h x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$h x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$h x = 0$

Этап 5.2.3

Разделим каждый член $h x = 0$ на $h$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим каждый член $h x = 0$ на $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{0}{h}$

Этап 5.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h x}{h} = \frac{0}{h}$

Этап 5.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{h}$

Этап 5.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Разделим $0$ на $h$ .

$x = 0$

Этап 5.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$h x = π - 0$

Этап 5.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$h x = π + 0$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$h x = π$

Этап 5.2.5.2

Разделим каждый член $h x = π$ на $h$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Разделим каждый член $h x = π$ на $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{π}{h}$

Этап 5.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h x}{h} = \frac{π}{h}$

Этап 5.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{h}$

Этап 6

Приравняем $- 2 \sin (h x) - \cos (h x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $- 2 \sin (h x) - \cos (h x)$ к $0$ .

$- 2 \sin (h x) - \cos (h x) = 0$

Этап 6.2

Решим $- 2 \sin (h x) - \cos (h x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (h x)$ .

$\frac{- 2 \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 6.2.2

Разделим дроби.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 6.2.3

Переведем $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ в $\tan (h x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 6.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \tan (h x) + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 6.2.5

Сократим общий множитель $\cos (h x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \tan (h x) + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 6.2.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \tan (h x) - 1 = \frac{0}{\cos (h x)}$

Этап 6.2.6

Разделим дроби.

$- 2 \tan (h x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Этап 6.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (h x)}$ в $\sec (h x)$ .

$- 2 \tan (h x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Этап 6.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 \tan (h x) - 1 = 0 \sec (h x)$

Этап 6.2.9

Умножим $0$ на $\sec (h x)$ .

$- 2 \tan (h x) - 1 = 0$

Этап 6.2.10

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \tan (h x) = 1$

Этап 6.2.11

Разделим каждый член $- 2 \tan (h x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Разделим каждый член $- 2 \tan (h x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (h x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 6.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \tan (h x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 6.2.11.2.1.2

Разделим $\tan (h x)$ на $1$ .

$\tan (h x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 6.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (h x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$h x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$h x = - 0.4636476$

Этап 6.2.14

Разделим каждый член $h x = - 0.4636476$ на $h$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.1

Разделим каждый член $h x = - 0.4636476$ на $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.4636476}{h}$

Этап 6.2.14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.4636476}{h}$

Этап 6.2.14.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 0.4636476}{h}$

Этап 6.2.14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{0.4636476}{h}$

Этап 6.2.15

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$h x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Этап 6.2.16

Добавим $2 π$ к $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 6.2.17

Результирующий угол $2.67794504$ является положительным и отличается от $- 0.4636476 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$h x = 2.67794504$

Этап 6.2.18

Разделим каждый член $h x = 2.67794504$ на $h$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.1

Разделим каждый член $h x = 2.67794504$ на $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.67794504}{h}$

Этап 6.2.18.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.18.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.67794504}{h}$

Этап 6.2.18.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2.67794504}{h}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x) - \cos (h x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{h}$

$x = \frac{2.67794504}{h}$