Тригонометрия Примеры

$2 \cos (x) = \sec (x)$

Этап 1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = \sec (x)$ на $2 \cos (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = \sec (x)$ на $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим дроби.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.3.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Этап 1.3.3

Перепишем $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 1.3.4

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 1.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Этап 1.3.5.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Этап 1.3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Этап 1.3.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Объединим.

$1 = \frac{1 \cdot 1}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $1$ на $1$ .

$1 = \frac{1}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 1.3.7

Умножим на $1$ .

$1 = \frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Этап 1.3.8

Разделим дроби.

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.3.9

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x)$

Этап 1.3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \sec^{2} (x)$

Этап 1.3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{\sec^{2} (x)}{2}$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sec^{2} (x) = 2 \cdot 1$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Этап 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $arcsec (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 8.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 8.4

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 8.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 8.4.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 8.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $arcsec (- \sqrt{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 9.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 9.4

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 9.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 9.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 9.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 9.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 9.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$