Тригонометрия Примеры

$2 \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$

Этап 1

Разделим каждый член $2 \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x + \frac{π}{6})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 x + \frac{π}{6})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ на $1$ .

$\cos (2 x + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x + \frac{π}{6} = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{6}$

Этап 4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π - π}{6}$

Этап 4.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$2 x = \frac{0}{6}$

Этап 4.4

Разделим $0$ на $6$ .

$2 x = 0$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x + \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим $2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 7.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 7.1.3.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}$

Этап 7.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{11 π}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{11 π - π}{6}$

Этап 7.2.3

Вычтем $π$ из $11 π$ .

$2 x = \frac{10 π}{6}$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10 π$ .

$2 x = \frac{2 (5 π)}{6}$

Этап 7.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 x = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Этап 7.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x = \frac{5 π}{3}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Этап 7.3.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 8

Найдем период $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9

Период функции $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$