Тригонометрия Примеры

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{4 - x} = \frac{7}{x - 4}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 4, 4 - x, x - 4$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $4 - x$ является само значение $4 - x$ .

$(4 - x) = 4 - x$

$(4 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 4, 4 - x, x - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (4 - x) (x - 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{4 - x} = \frac{7}{x - 4}$ умножим на $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{4 - x} = \frac{7}{x - 4}$ на $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$\frac{x}{x + 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$\frac{x}{x + 4} ((x + 4) ((4 - x) (x - 4))) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x + 4} ((x + 4) ((4 - x) (x - 4))) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x ((4 - x) (x - 4)) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$x ((- 1 (- 4) - x) (x - 4)) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$x ((- 1 (- 4) - (x)) (x - 4)) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 4) - (x)$ .

$x (- 1 (- 4 + x) (x - 4)) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.5

Изменим порядок членов.

$x (- 1 (x - 4) (x - 4)) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.6

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$x (- 1 ({(x - 4)}^{1} (x - 4))) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.7

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$x (- 1 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1})) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$x (- 1 {(x - 4)}^{2}) - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 4)}^{2} - \frac{1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.11

Сократим общий множитель $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4 - x}$ в числитель.

$- x {(x - 4)}^{2} + \frac{- 1}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.11.2

Вынесем множитель $4 - x$ из $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$- x {(x - 4)}^{2} + \frac{- 1}{4 - x} ((4 - x) ((x + 4) (x - 4))) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 4)}^{2} + \frac{- 1}{4 - x} ((4 - x) ((x + 4) (x - 4))) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 4)}^{2} - ((x + 4) (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.12

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 4)}^{2} - (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 4)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 4)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.13

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.13.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.13.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.13.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.14.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - (x^{2} + 4 \cdot - 4) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.14.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - (x^{2} - 16) = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} - - 16 = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.16

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = \frac{7}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = \frac{7}{x - 4} ((x - 4) ((x + 4) (4 - x)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = \frac{7}{x - 4} ((x - 4) ((x + 4) (4 - x)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 ((x + 4) (4 - x))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 4) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (x (4 - x) + 4 (4 - x))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (x \cdot 4 + x (- x) + 4 (4 - x))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (x \cdot 4 + x (- x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (4 \cdot x + x (- x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (4 x - x \cdot x + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (4 x - (x \cdot x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (4 x - x^{2} + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $4$ на $4$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (4 x - x^{2} + 16 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (4 x - x^{2} + 16 - 4 x)$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (- x^{2} + 16 + 0)$

Этап 2.3.3.3

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (- x^{2} + 16)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = 7 (- x^{2}) + 7 \cdot 16$

Этап 2.3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = - 7 x^{2} + 7 \cdot 16$

Этап 2.3.5.2

Умножим $7$ на $16$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 = - 7 x^{2} + 112$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $7 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- x {(x - 4)}^{2} - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$- x ((x - 4) (x - 4)) - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x (x - 4) - 4 (x - 4)) - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$- x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$- x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$- x (x^{2} - 8 x + 16) - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x^{2} - x (- 8 x) - x \cdot 16 - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) - x (- 8 x) - x \cdot 16 - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 8 x) - x \cdot 16 - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2 + 1} - x (- 8 x) - x \cdot 16 - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x^{3} - x (- 8 x) - x \cdot 16 - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{3} - 1 \cdot - 8 x \cdot x - x \cdot 16 - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.5.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 8 x \cdot x - 16 x - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1.1

Перенесем $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 8 (x \cdot x) - 16 x - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 8 x^{2} - 16 x - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - x^{2} + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$- x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 16 + 7 x^{2} = 112$

Этап 3.1.4

Добавим $7 x^{2}$ и $7 x^{2}$ .

$- x^{3} + 14 x^{2} - 16 x + 16 = 112$

Этап 3.2

Вычтем $112$ из обеих частей уравнения.

$- x^{3} + 14 x^{2} - 16 x + 16 - 112 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $112$ из $16$ .

$- x^{3} + 14 x^{2} - 16 x - 96 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разложим $- x^{3} + 14 x^{2} - 16 x - 96$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 96, \pm 2, \pm 48, \pm 3, \pm 32, \pm 4, \pm 24, \pm 6, \pm 16, \pm 8, \pm 12$

$q = \pm 1$

Этап 3.4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 96, \pm 2, \pm 48, \pm 3, \pm 32, \pm 4, \pm 24, \pm 6, \pm 16, \pm 8, \pm 12$

Этап 3.4.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$- {(- 2)}^{3} + 14 {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 - 96$

Этап 3.4.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- - 8 + 14 {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 - 96$

Этап 3.4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 + 14 {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 - 96$

Этап 3.4.1.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$8 + 14 \cdot 4 - 16 \cdot - 2 - 96$

Этап 3.4.1.3.5

Умножим $14$ на $4$ .

$8 + 56 - 16 \cdot - 2 - 96$

Этап 3.4.1.3.6

Добавим $8$ и $56$ .

$64 - 16 \cdot - 2 - 96$

Этап 3.4.1.3.7

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$64 + 32 - 96$

Этап 3.4.1.3.8

Добавим $64$ и $32$ .

$96 - 96$

Этап 3.4.1.3.9

Вычтем $96$ из $96$ .

$0$

Этап 3.4.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 14 x^{2} - 16 x - 96}{x + 2}$

Этап 3.4.1.5

Разделим $- x^{3} + 14 x^{2} - 16 x - 96$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$14 x^{2}$

$16 x$

$96$

Этап 3.4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$

Этап 3.4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 3.4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 3.4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$16 x^{2}$	+	$32 x$

Этап 3.4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x^{2} + 32 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$32 x$

Этап 3.4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$32 x$
							-	$48 x$

Этап 3.4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$32 x$
							-	$48 x$	-	$96$

Этап 3.4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 48 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$48$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$32 x$
							-	$48 x$	-	$96$

Этап 3.4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$48$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$32 x$
							-	$48 x$	-	$96$
							-	$48 x$	-	$96$

Этап 3.4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 48 x - 96$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$48$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$32 x$
							-	$48 x$	-	$96$
							+	$48 x$	+	$96$

Этап 3.4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$48$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$14 x^{2}$	-	$16 x$	-	$96$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$32 x$
							-	$48 x$	-	$96$
							+	$48 x$	+	$96$
										$0$

Этап 3.4.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 16 x - 48$

Этап 3.4.1.6

Запишем $- x^{3} + 14 x^{2} - 16 x - 96$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (- x^{2} + 16 x - 48) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 48 = 48$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 x$ .

$(x + 2) (- x^{2} + 16 (x) - 48) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.2

Запишем $16$ как $4$ плюс $12$

$(x + 2) (- x^{2} + (4 + 12) x - 48) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (- x^{2} + 4 x + 12 x - 48) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) ((- x^{2} + 4 x) + 12 x - 48) = 0$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x (- x + 4) - 12 (- x + 4)) = 0$

Этап 3.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 4$ .

$(x + 2) ((- x + 4) (x - 12)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (- x + 4) (x - 12) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$- x + 4 = 0$

$x - 12 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.7

Приравняем $- x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $- x + 4$ к $0$ .

$- x + 4 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $- x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.7.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 3.8

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (- x + 4) (x - 12) = 0$ верно.

$x = - 2, 4, 12$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{4 - x} = \frac{7}{x - 4}$ истинным.

$x = - 2, 12$