Тригонометрия Примеры

$\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$

Этап 1

Вычтем $\cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = - \cos (x)$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)}$ в виде ${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Умножим ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{1} = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- \cos (x))}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- \cos (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $- \cos (x)$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

Этап 3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = 1 \cos^{2} (x)$

Этап 3.3.1.3

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Этап 4

Решим относительно $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $\cos (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.2

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 4.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 6.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 6.4

Упростим $2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 6.4.3.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 6.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 7.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 7.4

Упростим $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 7.4.3.2

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 7.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{π}{6} + 2 π n$ и $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Исключим решения, которые не делают $\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$ истинным.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$