Тригонометрия Примеры

$\cot (x) = \csc (2 x) + \cot (2 x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (2 x) + \cot (2 x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\csc (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} + \cot (2 x)$

Этап 2.1.2

Выразим $\cot (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (2 x)} + \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 6

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{\sin (2 x)} + \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 7

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{\sin (2 x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.3

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{\sin (2 x)}$

Этап 8.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 8.5.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \cos (x)}$

Этап 8.6

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}$

Этап 9

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$

Этап 10

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $\frac{1}{2 \cos (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} = \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$

Этап 10.2

Вычтем $\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим $\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (x) + \frac{- 1 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 - (- 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.1.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.1.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.3.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.1.3.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 (1) + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.1.3.3

Вынесем множитель $- 2$ из $2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.1.3.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 (1 - \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\cos (x) + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 (\cos (x))} = 0$

Этап 11.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Этап 11.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 11.1.3.1.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)} = 0$

Этап 11.1.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Этап 11.1.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Этап 11.1.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (x) + \frac{- \cos (x)}{1} = 0$

Этап 11.1.3.1.2.2.4

Разделим $- \cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) = 0$

Этап 11.1.3.2

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Этап 12

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$