Тригонометрия Примеры

$\csc (2 x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$\csc (2 x) = - \sqrt{2}$

Этап 2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$2 x = arccsc (- \sqrt{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $arccsc (- \sqrt{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Этап 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Этап 7

Найдем период $\csc (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{8}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{8} + π$

Этап 8.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Этап 8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $π$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Этап 8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Этап 8.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Этап 8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{8}$

Этап 9

Период функции $\csc (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$