Тригонометрия Примеры

$\cos (x + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 π - π}{4}$

Этап 3.3

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 5.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 5.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 5.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 5.1.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{5 π - π}{4}$

Этап 5.2.3

Вычтем $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{4 π}{4}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 π}{4}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$x = π$

Этап 6

Найдем период $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7

Период функции $\cos (x + \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$