Тригонометрия Примеры

$8 \cos (\arcsin (x)) = \sqrt{64 - 64 x^{2}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{64 - 64 x^{2}} = 8 \cos (\arcsin (x))$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{64 - 64 x^{2}}}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{64 - 64 x^{2}}$ в виде ${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$64 - 64 x^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (x))$ равно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}$

Этап 3.3.1.3

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Применим правило умножения к $8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$64 - 64 x^{2} = 8^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Этап 3.3.1.3.3.5

Упростим.

$64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))$

Этап 3.3.1.4

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Этап 3.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Этап 3.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 3.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 3.3.1.5.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 3.3.1.5.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x + x (- x))$

Этап 3.3.1.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x \cdot x)$

Этап 3.3.1.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - (x \cdot x))$

Этап 3.3.1.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})$

Этап 3.3.1.5.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 0 - x^{2})$

Этап 3.3.1.5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})$

Этап 3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$64 - 64 x^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- x^{2})$

Этап 3.3.1.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Умножим $64$ на $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 + 64 (- x^{2})$

Этап 3.3.1.7.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $64 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$64 - 64 x^{2} + 64 x^{2} = 64$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в $64 - 64 x^{2} + 64 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим $- 64 x^{2}$ и $64 x^{2}$ .

$64 + 0 = 64$

Этап 4.1.2.2

Добавим $64$ и $0$ .

$64 = 64$

Этап 4.2

Поскольку $64 = 64$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$