Тригонометрия Примеры

$8 \cos (\arcsin (x)) = \sqrt{64 - 64 x^{2}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{64 - 64 x^{2}} = 8 \cos (\arcsin (x))$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{64 - 64 x^{2}}}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{64 - 64 x^{2}}$ в виде

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$64 - 64 x^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим

${(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ ,

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда

$\arcsin (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Следовательно,

$\cos (\arcsin (x))$ равно

$\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = 1$ и

$b = x$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}$

Этап 3.3.1.3

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Применим правило умножения к

$8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$64 - 64 x^{2} = 8^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Возведем

$8$ в степень

$2$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде

$(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.3.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.3.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.3.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Этап 3.3.1.3.3.5

Упростим.

$64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))$

Этап 3.3.1.4

Развернем

$(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Этап 3.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Этап 3.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 3.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Умножим

$1$ на

$1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 3.3.1.5.1.2

Умножим

$- x$ на

$1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 3.3.1.5.1.3

Умножим

$x$ на

$1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x + x (- x))$

Этап 3.3.1.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x \cdot x)$

Этап 3.3.1.5.1.5

Умножим

$x$ на

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.5.1

Перенесем

$x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - (x \cdot x))$

Этап 3.3.1.5.1.5.2

Умножим

$x$ на

$x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})$

Этап 3.3.1.5.2

Добавим

$- x$ и

$x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 0 - x^{2})$

Этап 3.3.1.5.3

Добавим

$1$ и

$0$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})$

Этап 3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$64 - 64 x^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- x^{2})$

Этап 3.3.1.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Умножим

$64$ на

$1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 + 64 (- x^{2})$

Этап 3.3.1.7.2

Умножим

$- 1$ на

$64$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с

$x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим

$64 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$64 - 64 x^{2} + 64 x^{2} = 64$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в

$64 - 64 x^{2} + 64 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим

$- 64 x^{2}$ и

$64 x^{2}$ .

$64 + 0 = 64$

Этап 4.1.2.2

Добавим

$64$ и

$0$ .

$64 = 64$

Этап 4.2

Поскольку

$64 = 64$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения

$x$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$