Тригонометрия Примеры

$9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$ на $9$ .

$\frac{9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2})}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2})}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x - \frac{π}{2})$ на $1$ .

$\sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{9}$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Этап 3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{3}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{1}{3})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x - \frac{π}{2} = 0.3398369$

Этап 6.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = 0.3398369 + \frac{π}{2}$

Этап 6.3.2

Добавим $0.3398369$ и $\frac{π}{2}$ .

$x = 1.91063323$

Этап 6.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x - \frac{π}{2} = (3.14159265) - 0.3398369$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вычтем $0.3398369$ из $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{2} = 2.80175574$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = 2.80175574 + \frac{π}{2}$

Этап 6.5.2.2

Добавим $2.80175574$ и $\frac{π}{2}$ .

$x = 4.37255207$

Этап 6.6

Найдем период $\sin (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.7

Период функции $\sin (x - \frac{π}{2})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.91063323 + 2 π n, 4.37255207 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (- \frac{1}{3})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1}{3})$ .

$x - \frac{π}{2} = - 0.3398369$

Этап 7.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = - 0.3398369 + \frac{π}{2}$

Этап 7.3.2

Добавим $- 0.3398369$ и $\frac{π}{2}$ .

$x = 1.23095941$

Этап 7.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x - \frac{π}{2} = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

Этап 7.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x - \frac{π}{2} = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 7.5.2

Результирующий угол $3.48142956$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x - \frac{π}{2} = 3.48142956$

Этап 7.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = 3.48142956 + \frac{π}{2}$

Этап 7.5.3.2

Добавим $3.48142956$ и $\frac{π}{2}$ .

$x = 5.05222588$

Этап 7.6

Найдем период $\sin (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.7

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = 1.91063323 + 2 π n, 4.37255207 + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $1.91063323 + 2 π n$ и $5.05222588 + 2 π n$ в $1.91063323 + π n$ .

$x = 1.91063323 + π n, 4.37255207 + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $4.37255207 + 2 π n$ и $1.23095941 + 2 π n$ в $1.23095941 + π n$ .

$x = 1.91063323 + π n, 1.23095941 + π n$ , для любого целого $n$