Тригонометрия Примеры

$4 \csc^{2} (x) + 4 \csc (x) + 1 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\csc (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 0$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4 u^{2}$ в виде ${(2 u)}^{2}$ .

${(2 u)}^{2} + 4 u + 1 = 0$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2} = 0$

Этап 2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Этап 2.4

Перепишем многочлен.

${(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 u$ и $b = 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 1$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 5

Подставим $\csc (x)$ вместо $u$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $- \frac{1}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения