Тригонометрия Примеры

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 1

Заменим $4 \cos^{2} (x)$ на $4 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 3

Вычтем $5$ из $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Этап 5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Этап 5.1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $4 u^{2}$ в виде ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Этап 5.2.4

Перепишем многочлен.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 u$ и $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Этап 6

Разделим каждый член $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2

Разделим ${(2 u + 1)}^{2}$ на $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Этап 7

Приравняем $2 u + 1$ к $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Этап 8

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 1$

Этап 8.2

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 9

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 10

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 11

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 12

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 13

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 13.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 14

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 15.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 15.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 15.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 15.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 15.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 15.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 16

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$